三角関数のモヤモヤ解消？連立微分方程式を用いて証明！

第3節論理図解による解法

【案内】連立微分方程式から二階微分方程式へ進む論理の流れを解説します。

・文字積分法を使わなくても、P(cosθsinθ)を証明できそうな気がしますが、論理に飛躍があり証明とはいえません。参考までに記載します。

・円を表わす方程式 x²+y²=1 から始めます。

・突然dθが現れますが、ここだけでは解説できません。θ＝弧AP　となる証明を省略すると、三角関数のモヤモヤ感が生まれてしまいます。証明は「第3章第4節　円弧の長さ」にあります。

・最下段の2式は二階微分方程式で、同じ二階微分方程式となります。解は第1章第1節にあります。

・λ→i　と置き換え、xとyはf(θ)で置き換えると同様な解になります。

・f(θ)→x と置き換えて、条件θ=0でx=1,θ=π/2でx=0から c₀=1,c₁=0

・f(θ)→y  λ→iと同様にして

y = c₀cosθ+(c₁i)sinθ

θ=0　 の時y=0なので　c₀=0　さらに、θ=π/2の時y=1なので　c₁i=1

 したがって   y = sinθ

【結論】 点P(cosθ,sinθ) かもしれないと予想はできます。

【二階微分方程式の具体的な解】

・λ=iωとすると、「第1章第1節　二階微分方程式の新解法」の単振動を表わす諸式での解を求められます。微分方程式を次のように抽象化することで解法の見通しは格段に良くなります。

・抽象化した微分方程式の解法を完成したことで三角関数に関するモヤモヤ感が消えました。